大法官的差異有多大？

假設甲參與 4 件案件，在其中 3 件提出個別意見書；乙參與 100 件，在 40 件提出。表上的比例分別是 75% 與 40%。這兩個數字可以如實描述已觀察到的案件，卻不足以支持一張名次表。甲的分母只有 4；多兩三件案件，比例就會有很大變化。乙的比例不會這樣輕易移動。

司法院資料常有這種情形。任期短、迴避較多，或某類案件本來就少，都會讓一位大法官的分母縮小。若只按比例排列，樣本最少的人往往最容易落在表的兩端。

資料中的「一件」是什麼

模型之前，要把結果定義寫成資料規則。若問題是個別意見書的提出情形，可以把一案一位大法官視為一筆觀察：該大法官在該案是否提出至少一份個別意見書。分母是符合納入條件且實際參與的案件數。

這個定義不能拿去回答「誰較常偏離多數」。後一個問題需要逐項表決資料，還得處理一案中的多個主文項、分向表決與未參與情形。意見書與表決方向是兩個結果，分子也不同。資料表應在這裡分開。

案件範圍同樣要先寫明：是否納入程序裁定、共同意見書怎麼計、資料缺漏如何處理、比較的期間在哪裡結束。這些決定會改變分母，也會改變後面的估計。

比例能說到哪裡

令第 $j$ 位大法官的納入案件數為 $n_j$，其中 $y_j$ 件符合前述結果定義。原始比例為

$$\hat{p}_j = \frac{y_j}{n_j}.$$

甲的 $3/4$ 與乙的 $40/100$ 都應保留在結果表裡。它們回答的是已發生案件的比例。若要用資料估計研究期間以外的傾向，分母不能隱去。

可以報告標準誤或信賴區間，讓讀者看見估計的範圍。Gelman、Hill 與 Vehtari 將區間放在抽樣分布的假設下理解：它表示在該假設下，與資料大致相容的參數值範圍。 對 4 件案件算出的區間通常比對 100 件案件算出的區間寬。這個差別比 75% 與 40% 的排序更接近資料本身。

二項模型與後驗分布

若以「在納入案件中提出個別意見書」作為結果，可令 $\theta_j$ 表示第 $j$ 位大法官在這個資料定義下的未知比例，並寫成

$$y_j \sim \mathrm{Binomial}(n_j, \theta_j).$$

二項模型把每人的案件計數接到一個未知比例上。它沒有處理案件類型、制度變動或大法官之間的差異；那些條件是否要進模型，要看研究問題與資料是否容許。

最簡單的先驗分布可寫為

$$\theta_j \sim \mathrm{Beta}(a,b).$$

看完 $y_j$ 件符合條件的案件與 $n_j-y_j$ 件不符合的案件後，後驗分布為

$$\theta_j \mid y_j \sim \mathrm{Beta}(a+y_j, b+n_j-y_j).$$

後驗分布保留了比例估計的不確定性。甲的資料仍會支持較高的值，但四件案件留下的範圍也會比較寬。Bayesian Data Analysis 在二項模型中說明 beta 先驗與後驗分布，並在階層模型章節討論多組相關參數的估計。

資料很少時，個別估計如何處理

每位大法官各自估計時，甲的結果幾乎全由四件案件決定。階層模型會把可比較的個別比例放進同一個分布，利用所有人的資料估計整體平均與個別差異的程度。案件很少的人會同時受自己的紀錄與群體分布影響；案件累積後，自己的紀錄會占較大比重。

這個做法稱為部分匯聚。估計值不會變成相同數字，小樣本也保留在分析中。Gelman、Hill 與 Yajima 將 multilevel model 的效果概括為 partial pooling：各組估計會彼此靠近，也會參考群體中的其他估計。

能否放在同一個分布，是研究假設。不同任期、案件類型或制度階段若帶來系統性的差異，便不宜只用一個整體比例處理。可以加入案件類型與期間等條件，或縮小比較範圍。BDA 討論階層模型時也提醒，若群組間存在系統差異，模型需要把這些差異納入。

結果表要留下的資訊

一份比較表至少應列出每人的案件數、原始比例、後驗區間，以及案件範圍。若要比較甲與乙，可報告

$$\Pr(\theta_{\text{甲}} > \theta_{\text{乙}} \mid \text{資料}).$$

它表示：在此模型、先驗設定與案件範圍下，甲的未知比例高於乙的後驗機率。這個數值不能直接寫成對人格、政治立場或提名背景的判斷。

案件不會隨機分派給大法官。任期重疊、迴避、案件類型、制度變動與資料完整度，都可能同時影響案件數和結果。部分匯聚處理的是小分母下的估計問題；它不會消除這些差異，也不能把觀察資料當成隨機實驗。

小樣本的高比例值得回看個案與資料規則。它有時會在後續案件中改變，有時則反映了案件組成或任期差異。把案件數、原始比例、模型假設與後驗範圍一併公開，讀者才有條件判斷這項差異能說到哪裡。